いろんな数式

運動方程式

m(dx/dt)=F

万有引力の法則

F=GMm/r²

クーロンの法則

F=(4πε₀)⁻¹Qq/r²

フックの法則

F=-kx

遠心力

F=mv²/r

コリオリの力

F=2m(v×ω)

運動量

p=mv

慣性モーメント

I=∫r²dm

角運動量

L=Iω

運動エネルギー

K=½mv²+½Iω²

重力の位置エネルギー

U=mgh

バネの位置エネルギー

U=½kx²

万有引力の位置エネルギー

U=-Gmm/R

非弾性衝突

f₁=(1+e)(m₁m₂/(m₁+m₂))(v₂-v₁)
f₂=(1+e)(m₁m₂/(m₁+m₂))(v₁-v₂)

第一宇宙速度

v₁=√(GM/R)

第二宇宙速度

v₂=√(2GM/R)

単純化されたナビエ-ストークス方程式

∂v/∂t+(v•∇)v=-(1/ρ)∇p+(μ/ρ)∇²v+g

オイラー=ラグランジュ方程式

d/dt(∂L/∂ẋ)-∂L/∂x=0

マクスウェル方程式

∇•B=0
∇×B=-∂B/∂t
∇•D=ρ
∇×H=j+∂D/∂t

ケプラーの第三法則

a³/T²=const.

ツィオルコフスキーの公式

Δv=w•log(m₀/m₁)

ベルヌーイの定理

p+½ρv²+ρgh=C

スネルの法則

n₁sinθ₁=n₂sinθ₂

オームの法則

V=IR

シュテファン=ボルツマンの法則

E=σT⁴

ローレンツ変換

t'=γ(t-vx/c²)
x'=γ(x-vt)
y'=y
z'=z
γ=1/√(1-(v²/c²))

相対論的距離

s²=-(cΔt)²+Δx²+Δy²+Δz²

相対論的エネルギー

E²=(mc²)²+(pc)²

測地線の方程式

d²xⁱ/ds²=Γⁱⱼₖ(dxʲ/ds)(dxᵏ/ds)

アインシュタイン方程式

Rₘₙ+(1/2)gₘₙR=(8πG/c⁴)Tₘₙ

シュワルツシルト解

c²dτ²=(1-2GM/(c²r))c²dt²-(1-2GM/(c²r))⁻¹dr²-r²(dθ²+sin²θdφ²)

シュワルツシルト半径

rₛ=2GM/c²

フリードマン方程式

(ȧ/a)²=(8πG/3)ρ-(kc²/a²)+(Λc²/3)

ハッブル–ルメートルの法則

v=H₀d

ディラック定数

ħ=h/2π

ハイゼンベルク方程式

iħ(∂A/∂t)=[A,H]

シュレディンガー方程式

iħ(∂Ψ/∂t)=(-(ħ²/2m)(∂²/∂t²)+V)Ψ

クライン-ゴルドン方程式

(∂²/∂t²-c²∇²+(m²c⁴/ħ²))Ψ=0

ディラック方程式

iħ(∂Ψ/∂t)=(-iħcα•∇+βmc²)Ψ

不確定性原理

Δx•Δp≥ħ/2

多項式の因数分解

a²-b²=(a-b)(a+b)
a²±2ab+b²=(a±b)²
a³±b³=(a±b)(a²∓ab+b²)

二項定理

(x+y)ⁿ=Σₖ(ₙCₖ)xᵏyⁿ⁻ᵏ

二次方程式の解

ax²+bx+c=0
x=(-b±√(b²-4ac))/(2a)

三次方程式の解

x³+ax²+bx+c=0
q=-a³/27+ab/6-c/2
p=q²+(b/3-a²/9)³
x=∛(q+√p)+∛(q-√p)-a/3,((-1±√3i)/2)∛(q+√p)+((-1∓√3i)/2)∛(q-√p)-a/3

フェルマーの小定理

aᵖ≡a (mod p)

加法定理

sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ
cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ
tan(α±β)=(tanα±tanβ)/(1∓tanαtanβ)

倍角の公式

sin(2θ)=2sinθcosθ
cos(2θ)=cos²θ-sin²θ=2cos²θ-1=1-2sin²θ
tan(2θ)=(2tanθ)/(1-tan²θ)

自然数の和

Σₖ₌₁ⁿk=n(n+1)/2

自然数の二乗の和

Σₖ₌₁ⁿk²=n(n+1)(2n+1)/6

自然数の三乗の和

Σₖ₌₁ⁿk³=(n(n+1)/2)²

黄金比

φ=(1+√5)/2

フィボナッチ数列

F₀=F₁=1
Fₙ₊₂=Fₙ+Fₙ₊₁
Fₙ=(φⁿ-(1-φ)ⁿ)/√5

素数定理

π(x)~x/log(x)

グラハム数

G=G⁶⁴(4)

四元数の虚数単位

i²=j²=k²=ijk=-1

積の微分

(fg)'=f'g+fg'

商の微分

(f/g)'=(f'g-fg')/g²

累乗の微分

(f(x)ⁿ)'=n f(x)ⁿ⁻¹ f'(x)

合成関数の微分

(f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x)

オイラーの公式

exp(iθ)=cos(θ)+i•sin(θ)

オイラーの等式

exp(iπ)+1=0

テイラー展開

f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+½f''(a)(x-a)²+⅙f'''(a)(x-a)³+...

フーリエ変換

F(ω)=∫f(t)exp(-iωt)dt

ラプラス変換

F(s)=∫₀f(t)exp(-st)dt

交換法則

ab=ba

結合法則

(ab)c=a(bc)

分配法則

a(b+c)=ab+ac

三平方の定理

a²+b²=c²

ヘロンの公式

S=√(s(s-a)(s-b)(s-c))
s=(a+b+c)/2

オイラーの多面体定理

V-E+F=2

円の面積

S=πr²

球の表面積

S=4πr²

球の体積

V=(4/3)πr³

三角不等式

|a+b|≤|a|+|b|

順列の数

ₙPᵣ=n!/(n-r)!

組み合わせの数

ₙCᵣ=n!/(r!(n-r)!)

期待値

E(X)=ΣᵢxᵢP(xᵢ)

分散

V(X)=E((X-E(X))²)=E(X²)-E(X)²

共分散

Cov(X,Y)=E((X-E(X))(Y-E(Y)))=E(XY)-E(X)E(Y)

相関係数

r(X,Y)=Cov(X,Y)/√(V(X)V(Y))

正規分布

P(x)=(2πσ²)⁻¹ᐟ²exp(-(x-μ)²/(2σ²))

ポアソン分布

P(X=k)=(λᵏe⁻ˡ)/k!

二項分布

P(X=k)=(ₙCₖ)pᵏ(1-p)ⁿ⁻ᵏ

ベイズの定理

P(A|B)=(P(B|A)P(A))/P(B)

ド・モルガンの法則

¬(A∧B)=¬A∨¬B
¬(A∨B)=¬A∧¬B

対偶

(P→Q)⇔(¬Q→¬P)

ペアノの公理

∀xS(x)≠0
∀x∀y(x≠y→S(x)≠S(y))
∀x(x+0=x)
∀x∀y(x+S(y)=S(x+y))
∀x(x•0=0)
∀x∀y(x•S(y)=x•y+x)
(P(0)∧∀x(P(x)→P(S(x))))→∀xP(x)

水の電気分解

2H₂O→H₂+2O₂

サバティエ反応

CO₂+4H₂→CH₄+2H₂O

ハーバー・ボッシュ法

N₂+3H₂→2NH₃

メタンの燃焼

CH₄+2O₂→CO₂+2H₂O

アンモニアの燃焼

4NH₃+3O₂→2N₂+6H₂O

塩酸と水酸化ナトリウムの中和反応

HCl+NaOH→NaCl+H₂O

D-T反応

²H+³H→⁴He+n

D-³He反応

²H+³He→⁴He+p

理想気体の状態方程式

pV=nRT

エントロピー

S=k•log(W)

エンタルピー

H=U+pV

オイラー陽解法

xₜ₊₁=xₜ+t•f(xₜ)

オイラー陰解法

xₜ₊₁=xₜ+t•f(xₜ₊₁)

4次のルンゲ=クッタ法

k₁=f(xₜ)
k₂=f(xₜ+t•k₁/2)
k₃=f(xₜ+t•k₂/2)
k₄=f(xₜ+t•k₃)
xₜ₊₁=xₜ+(t/6)(k₁+2k₂+2k₃+k₄)

2次ベジェ曲線

P(t)=(1-t)²P₀+2(1-t)tP₁+t²P₂

3次ベジェ曲線

P(t)=(1-t)³P₀+3(1-t)²tP₁+3(1-t)t²P₂+t³P₃

ロジスティック写像

xₜ₊₁=rxₜ(1-xₜ)

マンデルブロ集合

zₜ₊₁=zₜ²+c

エノン写像

xₜ₊₁=xₜcosθ-(y-xₜ²)sinθ
yₜ₊₁=xₜsinθ-(y-xₜ²)cosθ

ハートの式

x²+(y+√|x|)²=1

オイラーによる神の存在証明

(a+bⁿ)/n=x

生命、宇宙、そして万物についての究極の疑問の答え

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